Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Sở GD&ĐT Cao Bằng năm 2026 - Lần 1 môn Toán học 2026 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = (x + 1) (2 x - 5)^{2}$ với mọi $x \in R$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

A

$(- 1; + \infty)$ .

B

$(- 3; 1)$ .

C

$(- 1; \frac{5}{2})$ .

D

$(- \infty; - 1)$ .

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện nghịch biến

Hàm số nghịch biến khi $f^{'} (x) < 0$ .

f^{'} (x) < 0 ⟺ (x + 1) (2 x - 5)^{2} < 0

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Vì $(2 x - 5)^{2} \geq 0$ , tích âm khi $x + 1 < 0$ .

x + 1 < 0 ⟺ x < - 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Khoảng nghịch biến là $(- \infty; - 1)$ , nên chọn D; A, B, C sai vì không nằm hoàn toàn trong miền $x < - 1$ .

Đáp án: D — Vì

f^{'} (x) < 0

khi

x < - 1

, hàm số nghịch biến trên

(- \infty; - 1)

.

Câu 2

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A

$(A C C^{'} A^{'}) ⊥ (B D D^{'} B^{'})$ .

B

$(A^{'} B C) ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ .

C

$(A B C D) ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ .

D

$(A^{'} B C) ⊥ (A B C D)$ .

Lời giải

Bước 1: Nhận diện hai mặt phẳng

Mặt phẳng $(A C C^{'} A^{'})$ chứa đường chéo $A C$ và cạnh bên $A A^{'}$ ; mặt phẳng $(B D D^{'} B^{'})$ chứa đường chéo $B D$ và cạnh bên $B B^{'}$ .

A C ⊥ B D

Bước 2: Xét mệnh đề A

Vì $A A^{'} ∥ B B^{'}$ và hai mặt phẳng là các mặt phẳng đứng dựng trên $A C$ , $B D$ , nên chúng vuông góc.

A C ⊥ B D, A A^{'} ∥ B B^{'} ⟹ (A C C^{'} A^{'}) ⊥ (B D D^{'} B^{'})

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ . $B$ và $D$ sai vì $(A^{'} B C)$ không vuông góc với mặt trên hoặc mặt đáy; $C$ sai vì hai mặt phẳng đáy và mặt trên song song.

(A B C D) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

Đáp án:

A

— Hai mặt phẳng

(A C C^{'} A^{'})

và

(B D D^{'} B^{'})

dựng trên hai đường chéo vuông góc của đáy.

Câu 3

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho đường thẳng $Δ$ vuông góc với mặt phẳng $(α)$ có phương trình $x + 2 z + 3 = 0$ . Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ là

A

$a = (2; - 1; 0)$ .

B

$a = (2; 0; - 1)$ .

C

$a = (1; 0; 2)$ .

D

$a = (1; 2; 3)$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến

Viết phương trình mặt phẳng dưới dạng có đủ biến rồi lấy các hệ số của $x, y, z$ .

x + 0 y + 2 z + 3 = 0 \Rightarrow n = (1; 0; 2)

Bước 2: Chọn vectơ chỉ phương

Vì $Δ ⊥ (α)$ nên có thể chọn vectơ chỉ phương của $Δ$ cùng phương với $n$ .

a ∥ n \Rightarrow a = (1; 0; 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C: $a = (1; 0; 2)$ . A, B, D sai vì các vectơ tương ứng không cùng phương với $n = (1; 0; 2)$ .

Đáp án: C —

a = (1; 0; 2)

cùng phương với vectơ pháp tuyến của

(α)

.

Câu 4

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A ⊥ (A B C)$ , tam giác $A B C$ vuông cân tại $B$ và $S A = A B = a 2$ . Góc giữa đường thẳng $S B$ và mặt phẳng $(A B C)$ bằng

A

$9 0^{\circ}$ .

B

$4 5^{\circ}$ .

C

$3 0^{\circ}$ .

D

$6 0^{\circ}$ .

Lời giải

Bước $1$ : Xác định hình chiếu

Vì $S A ⊥ (A B C)$ , hình chiếu của $S$ trên $(A B C)$ là $A$ .

Do đó, hình chiếu của $S B$ trên $(A B C)$ là $A B$ .

pr_{(A B C)} (S B) = A B

Bước $2$ : Tính góc trong tam giác

Trong tam giác $S A B$ , ta có $S A ⊥ A B$ và $S A = A B$ nên đây là tam giác vuông cân tại $A$ .

Suy ra $∠ S B A = 4 5^{\circ}$ .

∠ S A B = 9 0^{\circ}, S A = A B \Rightarrow ∠ S B A = 4 5^{\circ}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Góc giữa $S B$ và $(A B C)$ bằng góc giữa $S B$ và $A B$ .

Chọn B; A, C, D sai vì lần lượt cho các giá trị $9 0^{\circ}$ , $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ .

(S B, (A B C)) = ∠ S B A = 4 5^{\circ}

Đáp án: B — vì

(S B, (A B C)) = ∠ S B A = 4 5^{\circ}

.

Câu 5

Tập nghiệm của bất phương trình $lo g_{4} (x + 1) \geq 2$ là

A

$(- 1; 15)$ .

B

$(- 1; 15]$ .

C

$[15; + \infty)$ .

D

$(15; + \infty)$ .

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện xác định

Biểu thức lôgarit xác định khi $x + 1 > 0$ .

x + 1 > 0 ⟺ x > - 1

Bước 2: Khử lôgarit

Vì cơ số $4 > 1$ , hàm lôgarit đồng biến.

lo g_{4} (x + 1) \geq 2 ⟺ x + 1 \geq 4^{2} = 16 ⟺ x \geq 15

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm là $[15; + \infty)$ .

Chọn phương án $C$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì không biểu diễn đúng tập $x \geq 15$ : $A$ , $B$ chứa khoảng không phải nghiệm, còn $D$ loại mất điểm $x = 15$ .

x \geq 15 v \overset{a}{ˋ} x > - 1 ⟹ x \in [15; + \infty)

Đáp án: Đáp án

C

— tập nghiệm là

[15; + \infty)

.

Câu 6

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$ , cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = x^{2} + 3$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 2$ . Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $O x$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

$V = π \int_{0}^{2} (x^{2} + 3)^{2} d x$ .

B

$V = π \int_{0}^{2} (x^{2} + 3) d x$ .

C

$V = \int_{0}^{2} (x^{2} + 3) d x$ .

D

$V = \int_{0}^{2} (x^{2} + 3)^{2} d x$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính

Bán kính tiết diện tại vị trí $x$ là khoảng cách từ $y = 0$ đến $y = x^{2} + 3$ .

R (x) = x^{2} + 3

Bước 2: Đối chiếu phương án

Áp dụng công thức thể tích trên đoạn $[0; 2]$ :

Phương án $A$ đúng; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không bình phương bán kính, thiếu hệ số $π$ , và thiếu cả hệ số $π$ .

V = π \int_{0}^{2} (x^{2} + 3)^{2} d x

Đáp án:

A

— dùng đúng công thức

V = π \int_{0}^{2} (x^{2} + 3)^{2} d x

.

Câu 7

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 202 6^{x}$ là

A

$\frac{202 6 ^{x + 1}}{ln 2026} + C$ .

B

$\frac{202 6 ^{x}}{ln 2026} + C$ .

C

$202 6^{x + 1} + C$ .

D

$202 6^{x} + C$ .

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Đặt $a = 2026$ vào công thức nguyên hàm hàm mũ.

\int 202 6^{x} d x = \frac{202 6 ^{x}}{ln 2026} + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Kết quả trùng với phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt thừa hệ số $2026$ , sai hệ số $ln 2026$ , và thiếu mẫu $ln 2026$ .

Đáp án: Đáp án

B

— đúng theo công thức

\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C

.

Câu 8

Tổng các nghiệm của phương trình $(\frac{2}{3})^{x^{2} - 3 x} = \frac{9}{4}$ là

A

$0$ .

B

$2$ .

C

$3$ .

D

$1$ .

Lời giải

Bước 1: Đổi về cùng cơ số

Viết vế phải dưới cơ số $\frac{2}{3}$ .

\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^{2} = (\frac{2}{3})^{- 2}

Bước 2: Giải phương trình mũ

Hai vế cùng cơ số $\frac{2}{3}$ nên các số mũ bằng nhau.

x^{2} - 3 x = - 2 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x - 2) = 0 \Leftrightarrow x \in {1, 2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tổng các nghiệm là $S = 1 + 2 = 3$ .

Chọn phương án $C$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho $0$ , chỉ lấy nghiệm $2$ , và cho $1$ thay vì tổng $3$ .

S = x_{1} + x_{2} = 1 + 2 = 3

Đáp án:

C

— vì tổng các nghiệm là

3

.

Câu 9

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Vectơ $u = A^{'} A + A^{'} B^{'} + A^{'} D^{'}$ bằng vectơ nào dưới đây?

A

$C A^{'}$ .

B

$C^{'} A$ .

C

$A^{'} C$ .

D

$A C^{'}$ .

Lời giải

Bước 1: Nhận diện ba vectơ

Các vectơ $A^{'} A$ , $A^{'} B^{'}$ , $A^{'} D^{'}$ cùng xuất phát từ $A^{'}$ và theo ba phương cạnh.

Bước 2: Cộng theo quy tắc hình hộp

Tổng ba vectơ này nối $A^{'}$ với đỉnh đối diện $C$ .

A^{'} A + A^{'} B^{'} + A^{'} D^{'} = A^{'} C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C: $A^{'} C$ . Các phương án A, B, D sai vì không có điểm đầu $A^{'}$ và điểm cuối $C$ , nên không biểu diễn tổng vectơ đã tính.

Đáp án: C —

u = A^{'} C

theo quy tắc cộng ba vectơ cạnh trong hình hộp.

Câu 10

Tập nghiệm của phương trình $cos 2 x = 1$ là

A

${\frac{π}{2} + k 2 π ∣ k \in Z}$ .

B

${k π ∣ k \in Z}$ .

C

${k 2 π ∣ k \in Z}$ .

D

${\frac{π}{4} + k π ∣ k \in Z}$ .

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Đặt $t = 2 x$ và dùng công thức $cos t = 1 \Leftrightarrow t = 2 k π$ .

cos 2 x = 1 \Rightarrow 2 x = 2 k π, k \in Z

Bước 2: Tìm nghiệm

Chia hai vế cho $2$ để thu được nghiệm của $x$ .

x = k π, k \in Z

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tập nghiệm là ${k π ∣ k \in Z}$ nên chọn phương án $B$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt nhầm dạng nghiệm, lấy sai chu kỳ và chia sai hệ số.

Đáp án:

B

— vì

x = k π

với

k \in Z

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Sở GD&ĐT Cao Bằng năm 2026 - Lần 1

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện nghịch biến

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Nhận diện hai mặt phẳng

Bước 2: Xét mệnh đề A

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến

Bước 2: Chọn vectơ chỉ phương

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định hình chiếu

Bước 2: Tính góc trong tam giác

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện xác định

Bước 2: Khử lôgarit

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đổi về cùng cơ số

Bước 2: Giải phương trình mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Nhận diện ba vectơ

Bước 2: Cộng theo quy tắc hình hộp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Tìm nghiệm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xác định hình chiếu

Bước $2$ : Tính góc trong tam giác

Bước $3$ : Đối chiếu phương án