Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Liên Trường THPT Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2026 môn Toán học 2026 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho hình chóp $S . A B C$ , gọi $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$S A + S B + S C = 3 S G$

B

$S A + S B + S C = 2 S G$

C

$S A + S B + S C = S G$

D

$S A + S B + S C = 4 S G$

Lời giải

Bước 1: Dùng tính chất trọng tâm

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ , ta có tổng các vectơ từ $G$ đến ba đỉnh bằng vectơ không.

G A + GB + GC = 0

Bước 2: Biến đổi tổng vectơ

Phân tích từng vectơ theo điểm trung gian $G$ , rồi cộng ba đẳng thức.

S A + S B + S C = (S G + G A) + (S G + GB) + (S G + GC) = 3 S G + 0 = 3 S G .

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt dùng sai hệ số $2$ , $1$ , $4$ thay cho $3$ .

S A + S B + S C = 3 S G

Đáp án:

A

— Vì tổng ba vectơ bằng

3 S G

.

Câu 2

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , phương trình nào trong các phương trình dưới đây là phương trình của một đường tròn?

A

$(x + 2)^{2} + y^{2} = 9$

B

$\frac{x ^{2}}{7} + \frac{y ^{2}}{5} = 1$

C

$x^{2} + 2 y^{2} = 2$

D

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$

Lời giải

Bước 1: Nhớ dạng chuẩn

Đối chiếu từng phương trình với dạng chuẩn của đường tròn.

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}, R > 0

Bước 2: Kiểm tra phương án A

Phương án $A$ có đúng dạng chuẩn, với tâm $(- 2, 0)$ và bán kính $3$ .

(x + 2)^{2} + y^{2} = 9 = 3^{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ ; $B$ và $C$ có hai hệ số khác nhau nên là elip, còn $D$ có dấu trừ nên là hypebol.

Đáp án:

A

—

(x + 2)^{2} + y^{2} = 9

có dạng chuẩn của đường tròn.

Câu 3

Thể tích của khối lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ biết $A A^{'} = 2 a,, A B = 3 a,, A C = 4 a$ và $A B ⊥ A C$ bằng

A

$8 a^{3}$

B

$12 a^{3}$

C

$24 a^{3}$

D

$4 a^{3}$

Lời giải

Bước $1$ : Tính diện tích đáy

Đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A$ , có hai cạnh góc vuông $A B$ và $A C$ .

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot 3 a \cdot 4 a = 6 a^{2}

Bước $2$ : Tính thể tích

Chiều cao lăng trụ là $h = A A^{'} = 2 a$ .

V = S_{A B C} \cdot h = 6 a^{2} \cdot 2 a = 12 a^{3}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án B. Các phương án A, C, D sai vì lần lượt cho hệ số $8$ , $24$ , $4$ , không bằng hệ số tính được $12$ .

Đáp án:

B . 12 a^{3}

— diện tích đáy bằng

6 a^{2}

và chiều cao bằng

2 a

.

Câu 4

Giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 10$ trên đoạn $[- 2; 2]$ bằng

A

$- 1$

B

$- 12$

C

$15$

D

$10$

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm tới hạn

Tính đạo hàm và giải phương trình $f^{'} (x) = 0$ .

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x - 3) (x + 1), f^{'} (x) = 0 ⟺ x \in {- 1, 3}

Bước 2: Chọn điểm cần xét

Trong các nghiệm trên, chỉ $x = - 1$ thuộc $[- 2; 2]$ . Cần tính giá trị tại $x = - 2, - 1, 2$ .

f (- 2) = 8, f (- 1) = 15, f (2) = - 12

Bước 3: Đối chiếu phương án

Giá trị lớn nhất là $15$ tại $x = - 1$ . Phương án $C$ đúng; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt không phải giá trị lớn nhất, là giá trị nhỏ nhất và là giá trị tại $x = 0$ .

Đáp án: C.

15

— đây là giá trị lớn nhất trong các giá trị

8

,

15

,

- 12

.

Câu 5

Đẳng thức lượng giác nào dưới đây SAI?

A

$cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1$

B

$sin 2 α = 2 sin α cos α$

C

$cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α$

D

$cos 2 α = sin^{2} α - cos^{2} α$

Lời giải

Bước 1: Viết công thức chuẩn

Dùng các công thức nhân đôi của $sin 2 α$ và $cos 2 α$ để đối chiếu.

sin 2 α = 2 sin α cos α, cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α

Bước 2: Kiểm tra dấu ở phương án D

Vế phải của D là đối của $cos 2 α$ , nên không thể bằng $cos 2 α$ trong mọi trường hợp.

sin^{2} α - cos^{2} α = - (cos^{2} α - sin^{2} α) = - cos 2 α

Bước 3: Đối chiếu phương án

$D$ sai vì đổi dấu hai bình phương; $A$ , $B$ , $C$ đúng lần lượt theo các công thức nhân đôi chuẩn.

Đáp án:

D

— vì

sin^{2} α - cos^{2} α = - cos 2 α

, không phải

cos 2 α

.

Câu 6

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành tâm $O$ , $M$ là trung điểm $S A$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hình minh họa

A

$O M // (S A D)$

B

$O M // (S A B)$

C

$O M // (S B D)$

D

$O M // (S C D)$

Lời giải

Bước 1: Xác định các trung điểm

Trong hình bình hành, $O$ là trung điểm của $A C$ . Kết hợp với $M$ là trung điểm của $S A$ , xét tam giác $S A C$ .

O l \overset{a}{ˋ} trung đ iểm của A C, M l \overset{a}{ˋ} trung đ iểm của S A

Bước 2: Dùng đường trung bình

Trong tam giác $S A C$ , đoạn $O M$ nối hai trung điểm nên là đường trung bình, do đó $O M ∥ S C$ .

O M ∥ S C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $S C \subset (S C D)$ nên $O M ∥ (S C D)$ . Đáp án $D$ đúng; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì $O M$ lần lượt cắt $(S A D)$ , $(S A B)$ tại $M$ và $(S B D)$ tại $O$ .

S C \subset (S C D) \Rightarrow O M ∥ (S C D)

Đáp án:

D

— Vì

O M ∥ S C

và

S C \subset (S C D)

.

Câu 7

Trong mặt phẳng $O x y$ , cho hai điểm $B (- 1; 3)$ và $C (3; 1)$ . Độ dài vectơ $B C$ bằng

A

$25$

B

$2$

C

$5$

D

$6$

Lời giải

Bước 1: Tìm tọa độ vectơ

Lấy tọa độ điểm $C$ trừ tọa độ điểm $B$ .

B C = (3 - (- 1); 1 - 3) = (4; - 2)

Bước 2: Tính độ dài

Áp dụng công thức độ dài vectơ theo hai thành phần tọa độ.

∣ B C ∣ = 4^{2} + (- 2)^{2} = 20 = 25

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A . 25$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì không bằng kết quả tính được $25$ .

Đáp án: A.

25

— Vì

∣ B C ∣ = 25

.

Câu 8

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số $u_{3} = 6$ và $u_{7} = - 2$ . Tìm số hạng đầu tiên?

A

$u_{1} = - 14$

B

$u_{1} = 10$

C

$u_{1} = 2$

D

$u_{1} = - 10$

Lời giải

Bước 1: Lập hệ phương trình

Áp dụng $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ cho $u_{3}$ và $u_{7}$ .

u_{3} = u_{1} + 2 d = 6, u_{7} = u_{1} + 6 d = - 2

Bước 2: Tìm công sai và $u_{1}$

Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất, rồi thay $d$ vào phương trình đầu.

4 d = (- 2) - 6 = - 8 \Rightarrow d = - 2, u_{1} + 2 (- 2) = 6 \Rightarrow u_{1} = 10

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $u_{1} = 10$ . A, C, D sai vì các giá trị đó không thỏa mãn đồng thời $u_{3} = 6$ và $u_{7} = - 2$ .

Đáp án: B.

u_{1} = 10

— kết quả thu được từ hệ phương trình của cấp số cộng.

Câu 9

Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi được cho như sau. Mốt (đơn vị: phút) của mẫu số liệu trên gần nhất số nào sau đây

Hình minh họa

A

$12, 67$

B

$17, 42$

C

$14, 56$

D

$17, 17$

Lời giải

Bước 1: Xác định lớp mốt

Tần số lớn nhất là $10$ , nên lớp mốt là $[10, 5; 20, 5)$ .

L = 10, 5, h = 10, f_{0} = 2, f_{1} = 10, f_{2} = 6

Bước 2: Áp dụng công thức

Thay các giá trị vào công thức mốt.

M_{o} = 10, 5 + 10 \cdot \frac{10 - 2}{2 \cdot 10 - 2 - 6} = 10, 5 + \frac{80}{12} = 17, 166 \dots \approx 17, 17

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì không trùng kết quả tính được.

Đáp án:

D . 17, 17

— mốt tính được xấp xỉ

17, 17

phút.

Câu 10

Cho tam giác $A B C$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A

$sin C = \frac{c sin A}{a}$

B

$b sin B = 2 R$

C

$\frac{a}{sin A} = 2 R$

D

$sin A = \frac{a}{2 R}$

Lời giải

Bước 1: Viết định luật sin

Áp dụng định luật sin cho tam giác $A B C$ .

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

Bước 2: Biến đổi hệ thức

Từ các hệ thức trên, suy ra những dạng tương đương cần kiểm tra.

\frac{a}{sin A} = \frac{c}{sin C} \Rightarrow sin C = \frac{c sin A}{a}; \frac{a}{sin A} = 2 R \Rightarrow sin A = \frac{a}{2 R}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án sai là $B$ : định luật sin cho $\frac{b}{sin B} = 2 R$ , không phải $b sin B = 2 R$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ đều là biến đổi đúng của định luật sin.

\frac{b}{sin B} = 2 R \Rightarrow b = 2 R sin B \Rightarrow b sin B = 2 R sin^{2} B \neq = 2 R

Đáp án:

B

— Sai vì định luật sin cho

\frac{b}{sin B} = 2 R

, không phải

b sin B = 2 R

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Liên Trường THPT Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2026

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Dùng tính chất trọng tâm

Bước 2: Biến đổi tổng vectơ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Nhớ dạng chuẩn

Bước 2: Kiểm tra phương án A

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm tới hạn

Bước 2: Chọn điểm cần xét

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Viết công thức chuẩn

Bước 2: Kiểm tra dấu ở phương án D

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định các trung điểm

Bước 2: Dùng đường trung bình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tìm tọa độ vectơ

Bước 2: Tính độ dài

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Lập hệ phương trình

Bước 2: Tìm công sai và u1​

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định lớp mốt

Bước 2: Áp dụng công thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Viết định luật sin

Bước 2: Biến đổi hệ thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính diện tích đáy

Bước $2$ : Tính thể tích

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 2: Tìm công sai và $u_{1}$