Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề chính thức tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 - Mã đề 0104 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = 2$ và công sai $d = 3$ . Giá trị của $u_{5}$ bằng

A

$14$

B

$17$

C

$15$

D

$12$

Lời giải

Bước 1: Tính số hạng thứ năm

Áp dụng công thức $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ với $n = 5$ .

u_{5} = u_{1} + (5 - 1) d = 2 + (5 - 1) \cdot 3 = 14

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A. $14$ ; B. $17$ , C. $15$ , D. $12$ sai vì không khớp kết quả $u_{5} = 14$ .

u_{5} = 14

Đáp án: A.

14

— vì

u_{5} = 2 + (5 - 1) \cdot 3 = 14

.

Câu 2

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$ , diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2 x + 1$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1, x = 2$ được xác định bằng công thức nào sau đây?

A

$S = \int_{1}^{2} (2 x + 1)^{2} d x$

B

$S = π \int_{1}^{2} (2 x + 1)^{2} d x$

C

$S = \int_{1}^{2} (2 x + 1) d x$

D

$S = π \int_{1}^{2} (2 x + 1) d x$

Lời giải

Bước 1: Xác định vị trí đồ thị

Trên đoạn $[1, 2]$ , ta có $2 x + 1 > 0$ , nên đồ thị nằm trên trục hoành.

2 x + 1 > 0, 1 \leq x \leq 2

Bước 2: Lập công thức diện tích

Cận tích phân là $1$ và $2$ ; hàm dưới là $y = 0$ .

S = \int_{1}^{2} [(2 x + 1) - 0] d x = \int_{1}^{2} (2 x + 1) d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C: $S = \int_{1}^{2} (2 x + 1) d x$ ; A và B sai vì bình phương hàm số, D sai vì thêm hệ số $π$ .

Đáp án: C — dùng đúng công thức diện tích giữa đồ thị và trục hoành:

S = \int_{1}^{2} (2 x + 1) d x

.

Câu 3

Cho khối chóp $O . A B C$ có $O A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ , tam giác $A B C$ vuông tại $A$ và $O A = 2, A B = 3, A C = 6$ . Thể tích của khối chóp $O . A B C$ bằng

A

$36$

B

$12$

C

$6$

D

$18$

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ nên:

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9

Bước 2: Tính thể tích

Chiều cao khối chóp là $O A = 2$ .

V = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot O A = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 2 = 6

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C; các phương án A, B, D sai vì không khớp giá trị thể tích $6$ .

Đáp án: C — Thể tích khối chóp bằng

6

.

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P) : 2 x - 4 y + 3 z - 9 = 0$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ?

A

$n_{4} = (2; - 4; 3)$

B

$n_{3} = (- 2; 4; 3)$

C

$n_{1} = (2; 4; 3)$

D

$n_{2} = (2; 4; - 3)$

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Đối chiếu phương trình với dạng $A x + B y + C z + D = 0$ .

A = 2, B = - 4, C = 3

Bước 2: Đối chiếu phương án

Suy ra vectơ pháp tuyến là $n = (2; - 4; 3)$ , trùng với phương án $A$ .

Các phương án $B, C, D$ sai vì lần lượt sai dấu hoặc sai thành phần tọa độ.

n = (2; - 4; 3)

Đáp án:

A

— vì

n = (2; - 4; 3)

là vectơ gồm các hệ số của

x, y, z

.

Câu 5

Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ (xem hình dưới). Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A

$S A + S B + S C + S D = 0$

B

$S A + S B + S C + S D = 2 S O$

C

$S A + S B + S C + S D = 4 S O$

D

$S A + S B + S C + S D = S O$

Lời giải

Bước 1: Tách vectơ qua $O$

Áp dụng hệ thức Chasles cho bốn vectơ có điểm trung gian $O$ .

S A + S B + S C + S D = 4 S O + O A + O B + O C + O D

Bước 2: Dùng tính chất tâm đáy

Do $O$ là tâm hình vuông, tổng các vectơ từ $O$ đến bốn đỉnh bằng $0$ .

S A + S B + S C + S D = 4 S O + 0 = 4 S O

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho hệ số $0$ , $2$ , $1$ thay vì $4$ .

C

Đáp án:

C

— Tổng bốn vectơ bằng

4 S O

.

Câu 6

Một người chia thời lượng (đơn vị: giây) thực hiện các cuộc gọi điện thoại của mình trong một tuần thành sáu nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm như sau. Từ phân vị thứ ba $Q_{3}$ (đơn vị: giây) của mẫu số liệu ghép nhóm trên bảng là:

A

$100$

B

$95$

C

$90$

D

$105$

Lời giải

Bước 1: Tính tổng và vị trí

Tổng tần số là $n = 40$ ; vị trí của $Q_{3}$ là $\frac{3 n}{4}$ .

n = 10 + 11 + 8 + 6 + 4 + 1 = 40, \frac{3 n}{4} = 30

Bước 2: Xác định lớp chứa $Q_{3}$

Tần số lũy tích lần lượt là $10, 21, 29, 35, 39, 40$ ; vị trí $30$ thuộc lớp $[90; 120)$ .

10 + 11 + 8 = 29 < 30 \leq 35 = 10 + 11 + 8 + 6

Bước 3: Tính $Q_{3}$

Với $L = 90$ , $F = 29$ , $f = 6$ , $h = 30$ , áp dụng công thức phân vị.

Q_{3} = 90 + \frac{30 - 29}{6} \cdot 30 = 95

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn B. $95$ ; A, C, D sai do lần lượt tính sai phần nội suy, quên phần nội suy và chọn sai giá trị.

Đáp án: B.

95

— nội suy tại vị trí

\frac{3 n}{4} = 30

trong lớp

[90; 120)

.

Câu 7

Nghiệm của phương trình $2^{2 x + 1} = 8$ là

A

$x = \frac{3}{2}$

B

$x = \frac{5}{2}$

C

$x = 1$

D

$x = 3$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Đổi số $8$ thành lũy thừa cơ số $2$ .

8 = 2^{3}

Bước 2: So sánh số mũ

Hai lũy thừa cùng cơ số nên các số mũ bằng nhau.

2 x + 1 = 3 ⟹ 2 x = 2 ⟹ x = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C vì $x = 1$ ; A, B, D sai vì lần lượt cho $16$ , $64$ , $128$ , khác $8$ .

Đáp án: C — nghiệm của phương trình là

x = 1

.

Câu 8

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d} (a c \neq = 0, a d - b c \neq = 0)$ có bảng biến thiên như dưới đây. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là

A

$y = - 2$

B

$x = 1$

C

$y = 1$

D

$x = - 2$

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm gián đoạn

Mẫu số bằng $0$ tại $x = - \frac{d}{c}$ ; đây là vị trí cần kiểm tra tiệm cận đứng.

c x + d = 0 \Rightarrow x = - \frac{d}{c}

Bước 2: Đọc bảng biến thiên

Bảng biến thiên cho biết hàm số không xác định tại $x = - 2$ và giá trị hàm số tiến đến vô cực khi $x$ tiến tới điểm này.

x \to - 2^{-} lim y = - \infty, x \to - 2^{+} lim y = + \infty

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $x = - 2$ . Các phương án A và C là đường ngang dạng $y = h \overset{ˋ}{\overset{a}{˘}} ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}}$ , còn B không trùng điểm gián đoạn.

Đáp án: D — Đường tiệm cận đứng là

x = - 2

.

Câu 9

Tập nghiệm của phương trình $sin x = 1$ là

A

$S = {r a c π 2 + k π ∣ k \in Z}$

B

$S = {\frac{π}{2} + 2 k π ∣ k \in Z}$

C

$S = {k π ∣ k \in Z}$

D

$S = {k 2 π ∣ k \in Z}$

Lời giải

Bước 1: Xác định góc cơ bản

Giá trị $1$ là cực đại của hàm số sin và đạt tại góc $\frac{π}{2}$ .

sin \frac{π}{2} = 1

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

Do hàm số sin có chu kỳ $2 π$ , thêm $2 k π$ với $k \in Z$ .

x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $S = {\frac{π}{2} + 2 k π ∣ k \in Z}$ . A sai vì còn chứa nghiệm $sin x = - 1$ ; C và D sai vì tương ứng chỉ cho các giá trị làm $sin x = 0$ .

Đáp án: B —

S = {\frac{π}{2} + 2 k π ∣ k \in Z}

theo chu kỳ

2 π

của hàm số sin.

Câu 10

Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ (xem hình dưới). Đường thẳng $B^{'} C^{'}$ song song với mặt phẳng nào sau đây?

A

$(A B C)$

B

$(A^{'} B^{'} C^{'})$

C

$(A B^{'} C^{'})$

D

$(B^{'} B C)$

Lời giải

Bước 1: Tìm đường thẳng song song

Hai cạnh tương ứng của hai đáy lăng trụ song song.

B^{'} C^{'} ∥ B C

Bước 2: Xác định mặt phẳng

Vì $B C \subset (A B C)$ , áp dụng định lý đường thẳng song song mặt phẳng.

B C \subset (A B C), B^{'} C^{'} ∥ B C ⟹ B^{'} C^{'} ∥ (A B C)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ . $B$ , $C$ , $D$ sai vì $B^{'} C^{'}$ lần lượt nằm trong $(A^{'} B^{'} C^{'})$ , nằm trong $(A B^{'} C^{'})$ , và cắt $(B^{'} B C)$ tại $B^{'}$ .

Đáp án:

A

— Vì

B^{'} C^{'} ∥ B C

và

B C \subset (A B C)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề chính thức tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 - Mã đề 0104

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính số hạng thứ năm

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định vị trí đồ thị

Bước 2: Lập công thức diện tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tách vectơ qua O

Bước 2: Dùng tính chất tâm đáy

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính tổng và vị trí

Bước 2: Xác định lớp chứa Q3​

Bước 3: Tính Q3​

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm gián đoạn

Bước 2: Đọc bảng biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định góc cơ bản

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tìm đường thẳng song song

Bước 2: Xác định mặt phẳng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Tách vectơ qua $O$

Bước 2: Xác định lớp chứa $Q_{3}$

Bước 3: Tính $Q_{3}$