Đáp án & lời giải chi tiết: [9Study] Đáp án đề thi thử HSA Phần Tư duy Định lượng 2027 - Đề số 16

Đánh giá Năng lực (HSA)Môn Toán học và Xử lí số liệuNăm 202750 câuChuẩn GDPT mới

Phần I

Câu 1

Nhà toán học Eratosthenes đã đo chu vi của Trái Đất bằng cách sau đây. Ông thấy rằng, vào một ngày nhất định, Mặt Trời chiếu trực tiếp xuống Syene. Đồng thời ở Alexandria (giả sử cách Syene 900 km về phía Bắc trên cùng 1 kinh tuyến), các tia nắng chiếu xuống hợp với phương thẳng đứng một góc $8^{\circ}$ . Từ các dữ kiện trên, chu vi Trái Đất xấp xỉ bằng

Hình minh họa

40500 km.

12891 km.

5730 km.

20250 km.

Lời giải

Chọn A

Góc ở tâm Trái Đất chắn cung Syene – Alexandria bằng $8^{\circ}$ ⇒ cung dài 900 km ứng với $\frac{8}{360}$ chu vi.

⇒ Chu vi Trái Đất $C=900\cdot \frac{360}{8}=40500$ (km).

Câu 2

Tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $(m^2+2)x+m(x-2)-1>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in [0;1]$ là

m<-\frac{1}{2}

m>-\frac{1}{2}

ℝ

-\frac{1}{2}<m<0

Lời giải

Chọn A

Bất phương trình ⇔ $h(x)=(m^2+m+2)x-2m-1>0$ ; vì $m^2+m+2>0$ nên $h$ đồng biến trên $[0;1]$ .

Yêu cầu ⇔ $h(0)=-2m-1>0$ ⇔ $m<-\frac{1}{2}$ .

Câu 3

Cho $n$ đường tròn đồng tâm $O$ . Biết rằng $r_1=2$ , chu vi đường tròn $(O,r_2)$ gấp 3 lần chu vi đường tròn $(O,r_1)$ , chu vi đường tròn $(O,r_3)$ gấp 3 lần chu vi đường tròn $(O,r_2)$ ,…, chu vi đường tròn $(O,r_n)$ gấp 3 lần chu vi đường tròn $(O,r_{n-1})$ . Chu vi đường tròn $(O,r_n)$ gấp 729 lần chu vi đường tròn $(O,r_1)$ . Tính $r_{n-1}$ .

r_{n-1}=486

r_{n-1}=729

r_{n-1}=1458

r_{n-1}=162

Lời giải

Chọn A

Chu vi tỉ lệ với bán kính ⇒ $r_k=3r_{k-1}$ ⇒ $(r_n)$ là cấp số nhân với $q=3$ : $r_n=2\cdot 3^{n-1}$ .

Ta có $r_n=729r_1$ ⇔ $3^{n-1}=729$ ⇔ $n=7$ ⇒ $r_{n-1}=r_6=2\cdot 3^5=486$ .

Câu 4

Cho bốn số tự nhiên, trong đó ba số hạng đầu lập thành một cấp số cộng, ba số hạng sau lập thành một cấp số nhân. Biết rằng tổng của số hạng đầu tiên và số hạng thứ tư là 14, tổng của số hạng thứ hai và thứ ba là 12. Số hạng thứ tư là

12.

Lời giải

Chọn A

Gọi bốn số là $a,b,c,d$ : $\left\{ \begin{aligned} a+c=2b \\ bd=c^2 \\ a+d=14 \\ b+c=12 \end{aligned} \right.$ ⇒ $a=2b-c$ , $d=\frac{c^2}{b}$ , $b=12-c$ .

Thay vào $a+d=14$ : $24-3c+\frac{c^2}{12-c}=14$ ⇔ $2c^2-23c+60=0$ ⇔ $c=4$ hoặc $c=\frac{15}{2}$ (loại vì không là số tự nhiên).

⇒ $c=4$ , $b=8$ , $a=12$ , $d=2$ ⇒ số hạng thứ tư là 2.

Câu 5

Một cốc nước A chứa 40 ml dung dịch KOH với nồng độ 60 (mg/ml). Một bình chứa B đựng dung dịch NaOH với nồng độ 15 (mg/ml) được trộn vào cốc nước A. Gọi $C(x)$ là nồng độ dung dịch sau khi trộn $x$ (ml) NaOH vào cốc nước A. Khi lượng dung dịch NaOH trộn vào ngày càng lớn thì nồng độ $C(x)$ dần tiến tới giá trị nào?

15 (mg/ml).

60 (mg/ml).

37,5 (mg/ml).

45 (mg/ml).

Lời giải

Chọn A

Khối lượng chất tan: $40\cdot 60+15x=2400+15x$ (mg); thể tích dung dịch $40+x$ (ml) ⇒ $C(x)=\frac{2400+15x}{40+x}$ .

Ta có $lim_{x\to +\infty}C(x)=15$ ⇒ đường tiệm cận ngang $y=15$ ⇒ nồng độ dần về 15 mg/ml khi trộn rất nhiều NaOH.

Câu 6

Nhận xét nào sau đây SAI?

{(sinx)}^{(n)}=sin\left( x+n\frac\pi{2} \right)

{(cosx)}^{(n)}=cos\left( x+n\frac\pi{2} \right)

(cos^nx)'=cos\left( x+n\frac\pi{2} \right)

(tanx)'=1+tan^2x

Lời giải

Chọn C

Các công thức A, B (đạo hàm cấp $n$ của $sinx$ , $cosx$ ) và D đều đúng.

Còn $(cos^nx)'=n\cdot cos^{n-1}x\cdot (-sinx)$ , không bằng $cos\left( x+n\frac\pi{2} \right)$ ⇒ C sai.

Câu 7

Gọi $A$ là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình ${log}_3(5x^2+5)\ge {log}_3(mx^2+2x+m)$ có tập nghiệm là $ℝ$ . Tổng các phần tử của $A$ là

10.

12.

Lời giải

Chọn A

Yêu cầu ⇔ $\left\{ \begin{aligned} mx^2+2x+m>0 \\ (5-m)x^2-2x+5-m\ge 0 \end{aligned} \right.$ , $\forall x\in ℝ$ .

Điều kiện thứ nhất ⇔ $\left\{ \begin{aligned} m>0 \\ 1-m^2<0 \end{aligned} \right.$ ⇔ $m>1$ ; điều kiện thứ hai ⇔ $\left\{ \begin{aligned} 5-m>0 \\ 1-{(5-m)}^2\le 0 \end{aligned} \right.$ ⇔ $m\le 4$ .

⇒ $1<m\le 4$ ⇒ $A=\{2;3;4\}$ ⇒ tổng bằng 9.

Câu 8

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $ℝ$ thỏa mãn $f(3)=f(-3)=0$ và đồ thị hàm số $y=f'(x)$ có dạng như hình vẽ bên dưới.

Hình minh họa

Hàm số $y={(f(x))}^2$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

(-3;0)

(-3;-1)

(-1;1)

(0;3)

Lời giải

Chọn D

Từ đồ thị: $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(0;3)$ , nghịch biến trên $(-3;0)$ và $(3;+\infty )$ ; $f(-3)=f(3)=0$ là hai giá trị cực đại ⇒ $f(x)\le 0$ với mọi $x$ .

Ta có $y'=2f(x)f'(x)<0$ ⇔ $f'(x)>0$ (với $f(x)<0$ ) ⇒ hàm số $y={(f(x))}^2$ nghịch biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(0;3)$ .

Câu 9

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y={(x-2)}^2$ , trục tung và trục hoành. Gọi $k_1,k_2$ $(k_1>k_2)$ là hệ số góc của hai đường thẳng cùng đi qua điểm $A(0;4)$ và chia $(H)$ thành 3 phần có diện tích bằng nhau (hình vẽ). Giá trị của $P=k_1-k_2$ bằng

Hình minh họa

\frac{9}{2}

\frac{27}{4}

Lời giải

Chọn A

Ta có $S_{(H)}=\int_0^2 {(x-2)}^2dx=\frac{8}{3}$ ⇒ mỗi phần có diện tích $\frac{8}{9}$ . Gọi $C,D$ là giao điểm của hai đường thẳng với $Ox$ .

Ta có $S_{AOC}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot OC=\frac{8}{9}$ ⇒ $C\left( \frac{4}{9};0 \right)$ ; $S_{AOD}=\frac{16}{9}$ ⇒ $D\left( \frac{8}{9};0 \right)$ ⇒ $k_{AC}=-9$ , $k_{AD}=-\frac{9}{2}$ .

⇒ $k_1=-\frac{9}{2}$ , $k_2=-9$ ⇒ $P=\frac{9}{2}$ .

Câu 10

Cho hàm số $f(x)=x^3-12x+1$ . Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=f(x^2-1)$ là

Lời giải

Chọn B

Ta có $g'(x)=2x\cdot f'(x^2-1)$ , $f'(u)=3u^2-12=0$ ⇔ $u=\pm 2$ .

Ta có $g'(x)=0$ ⇔ $x=0$ hoặc $x^2-1=2$ ⇔ $x=\pm \sqrt{3}$ hoặc $x^2-1=-2$ (vô nghiệm) ⇒ 3 nghiệm đơn ⇒ $g$ có 3 điểm cực trị.

Bảng tra cứu nhanh đáp án trọn bộ 10 câu hỏiNhấn để đóng / mở

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Đáp án	A	A	A	A	A	C	A	D	A	B

Đang xem 10 câu đầu của đề

Đề có tất cả 50 câu. Làm bài để xem lời giải tất cả câu hỏi.

Đăng nhập để làm bài