Đáp án & lời giải chi tiết: [9Study] Đáp án đề thi thử HSA Phần Tư duy Định lượng 2027 - Đề số 13

Đánh giá Năng lực (HSA)Môn Toán học và Xử lí số liệuNăm 202750 câuChuẩn GDPT mới

Phần I

Câu 1

Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu $v_0=70$ m/s hợp với phương ngang một góc $\alpha$ . Nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y=\frac{-g}{2v_0^2cos^2\alpha}x^2+x\cdot tan\alpha$ , ở đó $g=\text{9,8}$ $m/s^2$ là gia tốc trọng trường. Tìm góc bắn lớn nhất (đơn vị: độ) để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 250 m.

Hình minh họa

Đáp án đúng: 75

Lời giải

Đáp án: 75

Quả đạn chạm đất khi $y=0$ , $x>0$ ⇔ $x=\frac{2v_0^2sin\alpha cos\alpha}{g}=\frac{v_0^2sin2\alpha}{g}=\frac{4900sin2\alpha}{\text{9,8}}=500sin2\alpha$ .

Yêu cầu: $500sin2\alpha =250$ ⇔ $sin2\alpha =\frac{1}{2}$ ⇔ $\alpha =15^{\circ}$ hoặc $\alpha =75^{\circ}$ (với $0^{\circ}<\alpha <90^{\circ}$ ).

⇒ Góc bắn lớn nhất là $75^{\circ}$ .

Câu 2

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $x^2-2(m+1)x+6m+1\le 0$ vô nghiệm.

m\in [0;4]

m\in (0;4)

m\in (-\infty ;0)\cup (4;+\infty )

m\in (-\infty ;0]\cup [4;+\infty )

Lời giải

Chọn B

Bất phương trình vô nghiệm ⇔ $x^2-2(m+1)x+6m+1>0,\forall x\in ℝ$ ⇔ $\Delta '={(m+1)}^2-(6m+1)<0$ (vì hệ số $a=1>0$ ).

⇔ $m^2-4m<0$ ⇔ $0<m<4$ .

Câu 3

Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: giá từ mét khoan đầu tiên là 120 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 25 000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người muốn khoan một giếng sâu 24 mét. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu đồng?

Đáp án đúng: 9780000

Lời giải

Đáp án: 9780000

Giá các mét khoan lập thành cấp số cộng có $u_1=120000$ , $d=25000$ .

⇒ Số tiền phải trả: $S_{24}=\frac{24[2\cdot 120000+23\cdot 25000]}{2}=12\cdot 815000=9780000$ (đồng).

Câu 4

Cho hàm số $f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn, có đạo hàm trên $ℝ$ và $f(0)>0$ . Đồ thị hàm số $y=f'(x)$ như hình vẽ (đồ thị $y=f'(x)$ cắt đường thẳng $y=2x$ tại các điểm có hoành độ $-1$ ; 0; 1).

Hình minh họa

Hàm số $y=|f(x)-x^2|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Chọn C

Xét $g(x)=f(x)-x^2$ ⇒ $g'(x)=f'(x)-2x$ . Từ đồ thị: $g'(x)=0$ ⇔ $x\in \{-1;0;1\}$ ; $g'>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$ , $g'<0$ trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$ .

⇒ $g$ đạt cực đại tại $x=\pm 1$ , cực tiểu tại $x=0$ với $g(0)=f(0)>0$ ; vì $f$ có hệ số bậc cao nhất âm nên $g(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$ .

⇒ $g(x)=0$ có đúng 2 nghiệm đơn (một nghiệm nhỏ hơn $-1$ , một nghiệm lớn hơn 1). Số cực trị của $y=|g(x)|$ là $3+2=5$ .

Câu 5

Giả sử chiều cao (tính bằng cm) của một giống cây trồng (trong vòng 1 số tháng nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f(t)=\frac{300}{1+9e^{-t}}$ , $t\ge 0$ , trong đó thời gian $t$ được tính bằng tháng kể từ khi hạt bắt đầu nảy mầm. Đạo hàm $f'(t)$ biểu thị tốc độ tăng chiều cao của cây. Hỏi sau khi hạt bắt đầu nảy mầm thì sau bao nhiêu tháng tốc độ tăng chiều cao của cây là lớn nhất (lấy phần nguyên)?

Lời giải

Chọn B

Ta có $f'(t)=\frac{2700e^{-t}}{(1+9e^{-t}{)}^2}$ và $f''(t)=\frac{2700e^{-t}(9e^{-t}-1)}{(1+9e^{-t}{)}^3}$ .

Ta có $f''(t)=0$ ⇔ $e^{-t}=\frac{1}{9}$ ⇔ $t=ln9\approx \text{2,197}$ ; $f''$ đổi dấu từ dương sang âm ⇒ $f'(t)$ lớn nhất khi $t=ln9$ ⇒ lấy phần nguyên được 2 tháng.

Câu 6

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=3^x+2x$ là

3^x+x^2+C

\frac{3^x}{ln3}+2x^2+C

3^xln3+x^2+C

\frac{3^x}{ln3}+x^2+C

Lời giải

Chọn D

Ta có $\int (3^x+2x)dx=\frac{3^x}{ln3}+x^2+C$ .

Câu 7

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình $m^2ln\left( \frac{x}{e} \right)=(3-2m)lnx-9$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ \frac{1}{e};1 \right]$ ?

Đáp án đúng: 2

Lời giải

Đáp án: 2

Phương trình ⇔ $m^2(lnx-1)=(3-2m)lnx-9$ ⇔ $(m^2+2m-3)lnx=m^2-9$ ⇔ $(m-1)(m+3)lnx=(m-3)(m+3)$ .

Với $m=1$ : $0=-8$ (vô lí). Với $m>1$ : $lnx=\frac{m-3}{m-1}$ ; vì $x\in \left[ \frac{1}{e};1 \right]$ nên $lnx\in [-1;0]$ .

Yêu cầu ⇔ $-1\le \frac{m-3}{m-1}\le 0$ ⇔ $\left\{ \begin{aligned} 1<m\le 3 \\ \frac{2m-4}{m-1}\ge 0 \end{aligned} \right.$ ⇔ $2\le m\le 3$ ⇒ $m\in \{2;3\}$ ⇒ có 2 giá trị.

Câu 8

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $ℝ$ , có đạo hàm $f'(x)={(x-2)}^2{(x+2)}^3(4-x)$ . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

(-\infty ;-2)

(4;+\infty )

(2;4)

(-4;2)

Lời giải

Chọn C

Vì ${(x-2)}^2\ge 0$ và ${(x+2)}^3$ cùng dấu với $x+2$ nên $f'(x)>0$ ⇔ $(x+2)(4-x)>0$ , $x\neq 2$ ⇔ $-2<x<4$ , $x\neq 2$ .

⇒ Hàm số đồng biến trên $(-2;4)$ , do đó đồng biến trên $(2;4)$ .

Câu 9

Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ có đồ thị $(C)$ . Gọi điểm $M(x_0;y_0)$ với $x_0>-1$ là điểm thuộc $(C)$ , biết tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt $A,B$ và tam giác $OAB$ có trọng tâm $G$ nằm trên đường thẳng $d:3x+y=0$ . Tính giá trị của $x_0+y_0$ .

Đáp án đúng: -2

Lời giải

Đáp án: -2

Tiếp tuyến tại $M$ : $y=\frac{3}{(x_0{+1)}^2}(x-x_0)+\frac{x_0-2}{x_0+1}$ ⇒ $A\left( \frac{-x_0^2+4x_0+2}{3};0 \right)$ , $B\left( 0;\frac{x_0^2-4x_0-2}{(x_0{+1)}^2} \right)$ .

Vì $A,B$ phân biệt (không trùng $O$ ) nên $x_0^2-4x_0-2\neq 0$ . Trọng tâm $G\left( \frac{x_A}{3};\frac{y_B}{3} \right)\in d$ ⇔ $3x_A+y_B=0$ ⇔ $(x_0^2-4x_0-2)\left[ \frac{1}{(x_0{+1)}^2}-1 \right]=0$ ⇔ $(x_0{+1)}^2=1$ .

⇔ $x_0=0$ hoặc $x_0=-2$ ; vì $x_0>-1$ nên $x_0=0$ , $y_0=-2$ ⇒ $x_0+y_0=-2$ .

Câu 10

Cho hàm số $y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ có đồ thị là đường cong $(C)$ và đường thẳng $d:y=g(x)$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x=1$ . Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và $d$ bằng $\frac{27}{4}$ . Giao điểm thứ hai của đường cong $(C)$ và đường thẳng $d$ có hoành độ $m>1$ . Giá trị của $m$ bằng bao nhiêu?

Đáp án đúng: 4

Lời giải

Đáp án: 4

Vì $d$ tiếp xúc với $(C)$ tại $x=1$ và cắt $(C)$ tại $x=m$ nên $f(x)-g(x)={(x-1)}^2(x-m)$ .

⇒ $S=\int_1^m |{(x-1)}^2(x-m)|dx=\frac{{(m-1)}^4}{12}=\frac{27}{4}$ ⇔ ${(m-1)}^4=81$ ⇔ $m=4$ (vì $m>1$ ).

Bảng tra cứu nhanh đáp án trọn bộ 10 câu hỏiNhấn để đóng / mở

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Đáp án	75	B	9780000	C	B	D	2	C	-2	4

Đang xem 10 câu đầu của đề

Đề có tất cả 50 câu. Làm bài để xem lời giải tất cả câu hỏi.

Đăng nhập để làm bài